수학은 행동과 작업을 이해하는 데 결정적인 역할을합니다. 전기 같은 과 전자 시스템 . 다항식, 대수, 확률, 적분, 미분 등은 시스템을 해결하는 데 사용되는 도구의 중요한 부분을 형성합니다. 시스템의 복잡성이 증가함에 따라 매우 정교한 방법이 필요합니다. 미분 방정식은 제어 시스템을 정의하는 데 주로 사용됩니다. 이 방정식은 쉽게 풀 수 있습니다. 그러나 고차 미분 방정식을 푸는 동안 복잡성이 발생합니다. 이러한 복잡한 고차 미분 방정식을 풀기 위해 효과적인 것으로 입증 된 수학적 방법은 다음과 같습니다. 라플라스 변환 . 이 변환은 널리 사용되기 때문에 실제로 의미하는 바와 작동 방식을 아는 것이 유용합니다.

라플라스 변환이란 무엇입니까?

수학에서는 방정식을 다루기 쉽게 만들기 위해 변수를 한 형식에서 다른 형식으로 변환하는 데 변환이 적용됩니다. 라플라스 변환은 거의 같은 일을합니다. 그들은 고차 미분 방정식을 직접 미분 방정식을 푸는 것보다 훨씬 쉬운 다항식으로 변환합니다.

그러나 푸리에 변환과 같은 다양한 변환이 있습니다. z 변환이 라플라스 변환을 특별하게 만드는 이유는 무엇입니까? 라플라스 변환의 주요 장점은 안정 시스템과 불안정 시스템 모두에 대해 정의되는 반면 푸리에 변환은 안정 시스템에만 정의된다는 것입니다.

라플라스 변환 공식

시간 영역에서 함수 f (t)의 라플라스 변환 (t는 0보다 크거나 같은 실수)은 F (s)로 제공됩니다. s는 주파수 영역의 복소수입니다. s = σ + jω
위의 방정식은 다음과 같이 간주됩니다. 일방적 인 라플라스 변환 방정식 . 한계가 전체 실제 축으로 확장되면 양측 라플라스 변환 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.
실제 회로에서 RC 및 RL 회로 일반적으로 초기 조건이 사용되므로 분석 목적으로 단측 라플라스 변환이 적용됩니다.
s = σ + jω로 σ = 0 일 때 라플라스 변환은 푸리에 변환으로 동작합니다.

“브리지 정류기 AC에서 DC로 ”

라플라스 변환 공식

라플라스 변환 적용 조건

라플라스 변환을 적분 변환이라고하므로 이러한 변환의 수렴에 필요한 조건이 있습니다.
즉, f는 구간 [0, ∞)에 대해 국부적으로 적분되어야하며 σ가 양수인지 음수인지에 따라 e ^ (-σt)가 감소하거나 증가 할 수 있습니다. 단일 값이 아닌 양측 라플라스 변환의 경우 적분은 수렴 영역으로 알려진 특정 값 범위에 걸쳐 수렴됩니다.

라플라스 변환의 속성 :

선형성

시간 이동

S 도메인의 이동

시간 반전

“연산 증폭기는 무엇에 사용됩니까 ”

S 도메인의 차별화

시간의 컨볼 루션

초기 값 정리

라플라스 변환에서 분자의 차수가 분모의 차보다 작을 때 초기 값 정리가 적용됩니다. 최종 가치 정리 :

sF (s)의 모든 극이 S 평면의 왼쪽 절반에 있으면 최종 값 정리가 적용됩니다.

역 라플라스 변환

수렴 특성으로 인해 라플라스 변환도 역변환을 갖습니다. 라플라스 변환은 한 기능 공간에서 다른 기능 공간으로 일대일 매핑을 나타냅니다. 라플라스 역변환의 공식은 다음과 같습니다.

라플라스 변환을 계산하는 방법?

라플라스 변환을 사용하면 방정식을 더 쉽게 처리 할 수 있습니다. 고차 미분 방정식이 주어지면 라플라스 변환이 적용되어 방정식을 대수 방정식으로 변환하여 쉽게 처리 할 수 있습니다. 그런 다음이 대수 방정식을 단순화하여 근을 계산합니다. 이제 주어진 고차 미분 방정식을 해결하는 더 간단한 표현의 역 라플라스 변환이 발견됩니다.

라플라스 변환 계산

라플라스 변환의 응용

전기 및 전자 회로 .
복잡한 미분 방정식을 더 단순한 다항식으로 분해합니다.
라플라스 변환은 정상 상태와 과도 상태에 대한 정보를 제공합니다.
머신 러닝에서 Laplace 변환은 데이터 마이닝에서 예측 및 분석을 수행하는 데 사용됩니다.
라플라스 변환은 시스템 모델링에서 계산을 단순화합니다.

신호 처리에서 라플라스 변환 적용

라플라스 변환은 신호 처리를 위해 자주 선택됩니다. 푸리에 변환과 함께 라플라스 변환 주파수 영역에서 신호를 연구하는 데 사용됩니다. 주파수 영역의 신호에 작은 주파수가 있으면 신호가 시간 영역에서 부드러워 질 것으로 기대할 수 있습니다. 신호 필터링은 일반적으로 Laplace가 신호를 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 변환하는 중요한 도구로 작동하는 주파수 도메인에서 수행됩니다.